親権の「申込み」といういい方は、あまり法律や離婚に関する実務では使わない表現ですが、おそらく、

  1. 配偶者にどのようにして「子供の親権が欲しい」ことを伝えるべきか。
  2. どのように親権者の届出を行なうのか。

で悩んでいる方の検索ワードだと推察します。

まず、

  1. 配偶者に「子供の親権が欲しい」ということを伝える方法は、まずは夫婦(子の父母)で話しあって決めることになります。その話し合いで決まらないときは家庭裁判所の調停や裁判を行って話し合いをすることができます(民法819条)。
  2. 協議離婚(調停や裁判を行わず、夫婦の話合いでする離婚)の場合は、離婚届に未成年の子の氏名 「夫が親権を行う子」「妻が親権を行う子」という欄があるので、そこに子の名前を記載して、離婚届を市区町村役場に提出します。

この届出手続きにより、離婚後の子の親権者が法律的に子の父又は母のいずれかになるのか、が確定されることになります